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158516***

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屯溪***

15851667124 发表于 2026-1-25 20:38

好的，我们先一步步整理题意并求解。  

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## **1. 题目信息整理**

题中有两个图，对应两个问题。

### **第一题（左图）**
已知：
- 四边形 \( ABCD \) 是正方形，边长 \( AB = 6 \)。
- \( E \) 是 \( BC \) 中点。
- \( F \) 是 \( CD \) 上一点，且 \( CF = 2 \)。
- \( AF \) 与 \( DE \) 交于点 \( P \)。
- 求 \( S_{\triangle PEF} \)（三角形 \( PEF \) 的面积）。

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### **第二题（右图）**
已知：
- 四边形 \( ABCD \) 是正方形，边长 \( AB = 6 \)。
- \( E \) 是 \( BC \) 上一点，且 \( BE : EC = 1 : 2 \)。
- \( F \) 是 \( CD \) 中点。
- \( AF \) 与 \( DE \) 交于点 \( P \)。
- 求 \( S_{\triangle PEF} \)。

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## **2. 先解第一题**

**已知**：
正方形 \( ABCD \) 顶点顺序：\( A(0,6) \)、\( B(6,6) \)、\( C(6,0) \)、\( D(0,0) \)（这样方便计算，但注意通常 \( A \) 在左上，\( D \) 在左下，\( B \) 在右上，\( C \) 在右下，不过坐标可以调整）。

为了与常见坐标一致，设：
\[
A(0,0),\quad B(6,0),\quad C(6,6),\quad D(0,6)
\]
这样 \( AB \) 在 x 轴，\( AD \) 在 y 轴。

那么：
- \( E \) 是 \( BC \) 中点：\( B(6,0) \)、\( C(6,6) \) 不对，等一下，这样 \( BC \) 是竖边，B 在 (6,0)，C 在 (6,6) 吗？  
  不对，这样 \( D \) 在 (0,6) 时，A(0,0) B(6,0) C(6,6) D(0,6) 才是常见坐标系。

检查：A(0,0), B(6,0), C(6,6), D(0,6)。

- \( E \) 是 \( BC \) 中点：B(6,0), C(6,6) → 中点 E(6,3)。
- \( F \) 在 \( CD \) 上，C(6,6), D(0,6)，所以 CD 是水平线段，y=6，从 x=6 到 x=0。
  \( CF = 2 \)，从 C 向 D 走 2 个单位，所以 F 的坐标：C(6,6) 向左 2 单位 → F(4,6)。

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**直线 DE**：
D(0,6), E(6,3)  
斜率 \( m_{DE} = \frac{3-6}{6-0} = \frac{-3}{6} = -\frac12 \)  
方程：\( y - 6 = -\frac12 (x - 0) \)  
\[
y = -\frac12 x + 6
\]

**直线 AF**：
A(0,0), F(4,6)  
斜率 \( m_{AF} = \frac{6-0}{4-0} = \frac{6}{4} = \frac32 \)  
方程：\( y = \frac32 x \)。

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**求交点 P**：
\[
\frac32 x = -\frac12 x + 6
\]
\[
\frac32 x + \frac12 x = 6
\]
\[
2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]
\[
y = \frac32 \times 3 = \frac92
\]
所以 \( P\left(3, \frac92\right) \)。

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**求 \( S_{\triangle PEF} \)**：
E(6,3), F(4,6), P(3, 4.5)。

用**面积坐标公式**（或向量法）：
\[
S = \frac12 \left| x_E(y_F - y_P) + x_F(y_P - y_E) + x_P(y_E - y_F) \right|
\]
代入：
\[
x_E=6,\ y_E=3,\quad x_F=4,\ y_F=6,\quad x_P=3,\ y_P=4.5
\]
\[
S = \frac12 \left| 6(6 - 4.5) + 4(4.5 - 3) + 3(3 - 6) \right|
\]
\[
= \frac12 \left| 6 \times 1.5 + 4 \times 1.5 + 3 \times (-3) \right|
\]
\[
= \frac12 \left| 9 + 6 - 9 \right|
\]
\[
= \frac12 \times |6| = 3
\]

所以第一题答案：
\[
\boxed{3}
\]

---

## **3. 再解第二题**

已知：A(0,0), B(6,0), C(6,6), D(0,6)  
\( BE : EC = 1 : 2 \)，且 E 在 BC 上（B(6,0), C(6,6) 竖边，y 从 0 到 6）。

BC 长度 = 6，BE : EC = 1:2 → BE = 2, EC = 4（因为总长 6）。  
所以 E 的坐标：B(6,0) 向上 2 单位 → E(6,2)。

F 是 CD 中点：C(6,6), D(0,6) 中点 F(3,6)。

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**直线 DE**：
D(0,6), E(6,2)  
斜率 \( m_{DE} = \frac{2-6}{6-0} = \frac{-4}{6} = -\frac23 \)  
方程：\( y - 6 = -\frac23 (x - 0) \)  
\[
y = -\frac23 x + 6
\]

**直线 AF**：
A(0,0), F(3,6)  
斜率 \( m_{AF} = \frac{6-0}{3-0} = 2 \)  
方程：\( y = 2x \)。

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**交点 P**：
\[
2x = -\frac23 x + 6
\]
\[
2x + \frac23 x = 6
\]
\[
\frac{6x + 2x}{3} = 6
\]
\[
\frac{8x}{3} = 6 \quad \Rightarrow \quad 8x = 18 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{4}
\]
\[
y = 2 \times \frac{9}{4} = \frac{9}{2}
\]
所以 \( P\left( \frac94, \frac92 \right) \)。

---

**求 \( S_{\triangle PEF} \)**：
E(6,2), F(3,6), P(2.25, 4.5)。

用公式：
\[
S = \frac12 \left| 6(6 - 4.5) + 3(4.5 - 2) + 2.25(2 - 6) \right|
\]
\[
= \frac12 \left| 6 \times 1.5 + 3 \times 2.5 + 2.25 \times (-4) \right|
\]
\[
= \frac12 \left| 9 + 7.5 - 9 \right|
\]
\[
= \frac12 \times |7.5| = 3.75
\]

所以第二题答案：
\[
\boxed{3.75}
\]

---

## **4. 最终答案**

第一题：\( 3 \)  
第二题：\( 3.75 \)（或写 \( \frac{15}{4} \)）

\[
\boxed{3, \frac{15}{4}}
\]   

--来源：越嘉艺术网